Экономичность систем счисления

Экономичность системы счисления —  запас чисел, который можно записать в данной системе с помощью определенного количества знаков. Чем больше запас тем экономичнее система.

Обозначения

• Двоичная: 0 1
• Троичная: + 0 -
• Десятичная система: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Вывод экономичной системы счисления

Обозначим $p$ основание системы счисления, $n$ количество требуемых знаков. Тогда получим $\frac{n}{p}$ разрядов требуемых для записи этого набора знаков в заданной системе счисления, а количество чисел которое при этом можно записать будет равно $p^{\frac{n}{p}}$.

Рассмотрим это выражение как функцию переменной $p$, принимающей любые положительные значения: $y\left(p\right)=p^{\frac{n}{p}}$.

Найдём максимум этой функции, для этого найдём когда первая производная от функции  будет равна 0. $\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dp}}=\frac{-n}{p^2}\cdot p^{\frac{n}{p}}\cdot \ln p+\frac{n}{p}\cdot p^{\frac{n}{p}-1}=n\cdot p^{\frac{n}{p}-2}\cdot \left(1-\ln p\right)$, производная будет равна 0 когда $1-\ln p=0$, т.е. когда $p=e$.

Слева от точки $p=e$ производная $\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dp}}$ положительна, а справа отрицательна, таким образом учитывая теоремы дифференциального исчисления получаем что при $p=e$ функция $y\left(p\right)$ действительно имеет максимум.

Из целых чисел максимум функция $y\left(p\right)$ имеет при $p=3$. Поэтому  троичная система счисления самая экономичная целочисленная система счисления.

В качестве иллюстрации вышесказанного рассмотрим такой пример: возьмём 60 знаков и посмотрим сколько различных чисел можно задать в популярных системах счисления.

$2^{\frac{60}{2}}=\mathrm{1\; 073\; 741\; 824}$; $3^{\frac{60}{3}}=\mathrm{3\; 486\; 784\; 401}$; ${10}^{\frac{60}{10}}=\mathrm{1\; 000\; 000}$

График функции $y\left(p\right)$ представлен на рис.1:

Рис. 1

Экономичность систем счисления и компьютеры

Экономичность системы счисления в компьютерах проявляется как аппаратные затраты на реализацию требуемого количества оборудования для заданного числа различных значений. Так если считать что затраты производятся в предположении, что количество оборудования в p-значном элементе пропорционально p, то как было показано выше минимальные затраты будут при реализации троичного элемента.

Так троичная реализации аппаратуры по отношению к двоичной: $\frac{3}{2\cdot {\log }_{2}3}$ будет экономичнее на 5,36%.

Реальная экономичность же может быть оценена лишь применительно к конкретной физической реализации элементов.

Так магнитный элемент может иметь сколь угодно различных состояний. В двоичной технике этот элемент используют для хранения лишь 2-х значений (намагничено/размагничено), если предположить реализацию системы считывания в десятичной системе, то такой элемент бы хранил 10 различных значений, таким образом одинаковый элемент в реализации десятичного компьютера становится более экномичным чем в реализации двоичного.

Источники:

1. Фомин С.В. Системы счисления. — М.: Наука, 1987