Экономичность системы счисления —  запас чисел, который можно записать в данной системе с помощью определенного количества знаков. Чем больше запас тем экономичнее система.

Обозначения

  • Двоичная: 0 1
  • Троичная: + 0 -
  • Десятичная система: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Вывод экономичной системы счисления

Обозначим p основание системы счисления, n количество требуемых знаков. Тогда получим n p разрядов требуемых для записи этого набора знаков в заданной системе счисления, а количество чисел которое при этом можно записать будет равно p n p .

Рассмотрим это выражение как функцию переменной p, принимающей любые положительные значения: y ( p ) = p n p .

Найдём максимум этой функции, для этого найдём когда первая производная от функции  будет равна 0. dy dp = n p 2 p n p ln p + n p p n p 1 = n p n p 2 ( 1 ln p ) , производная будет равна 0 когда 1 ln p = 0 , т.е. когда p = e .

Слева от точки p = e производная dy dp положительна, а справа отрицательна, таким образом учитывая теоремы дифференциального исчисления получаем что при p = e функция y ( p ) действительно имеет максимум.

Из целых чисел максимум функция y ( p ) имеет при p = 3 . Поэтому  троичная система счисления самая экономичная целочисленная система счисления.

В качестве иллюстрации вышесказанного рассмотрим такой пример: возьмём 60 знаков и посмотрим сколько различных чисел можно задать в популярных системах счисления.

2 60 2 = 1 073 741 824 ; 3 60 3 = 3 486 784 401 ; 10 60 10 = 1 000 000

График функции y ( p ) представлен на рис.1:

Экономичность систем счисленияРис. 1

Экономичность систем счисления и компьютеры

Экономичность системы счисления в компьютерах проявляется как аппаратные затраты на реализацию требуемого количества оборудования для заданного числа различных значений. Так если считать что затраты производятся в предположении, что количество оборудования в p-значном элементе пропорционально p, то как было показано выше минимальные затраты будут при реализации троичного элемента.

Так троичная реализации аппаратуры по отношению к двоичной: 32log23 будет экономичнее на 5,36%.

Реальная экономичность же может быть оценена лишь применительно к конкретной физической реализации элементов.

Так магнитный элемент может иметь сколь угодно различных состояний. В двоичной технике этот элемент используют для хранения лишь 2-х значений (намагничено/размагничено), если предположить реализацию системы считывания в десятичной системе, то такой элемент бы хранил 10 различных значений, таким образом одинаковый элемент в реализации десятичного компьютера становится более экномичным чем в реализации двоичного.

Источники:

  1. Фомин С.В. Системы счисления. — М.: Наука, 1987